Bryn Mawr Classical Review

Reviewed by Wilfried H. Lingenberg, Universität des Saarlandes (w.lingenberg@mx.uni-saarland.de)

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Inhaltsverzeichnis

Das letzte Werk des bedeutenden Mathematikhistorikers und Philosophen Imre Tóth sammelt den Ertrag eines zu nicht geringem Teil der Entwicklung des mathematischen Denkens in den griechischen Philosophenschulen gewidmeten Forscherlebens. Die Ergebnisse waren teils schon seit Jahrzehnten veröffentlicht, haben aber nicht nur bei den Altertumskundlern, sondern auch bei den Mathematikhistorikern bislang so gut wie keinen Nachhall gefunden¹ — ein nur aus ihrer Spezialisierung, nicht ihrer Tragweite heraus erklärliches Versäumnis. So wird die Entwicklung der nichteuklidischen Geometrie auch in einer neuen, umfangreichen Darstellung der Geschichte der Mathematik noch in althergebrachter Weise erzählt:² Man habe seit der Antike versucht, Euklids berühmtes Parallelenpostulat zu beweisen; erst im 18. und 19. Jahrhundert sei die Erkenntnis gereift, daß dies grundsätzlich ausgeschlossen ist, was schließlich zur Idee führte, dieses Postulat durch andere, komplementäre Forderungen zu ersetzen. Die Beobachtung, daß sich daraus ebenfalls widerspruchsfreie Theorien entwickeln ließen, habe dann die Entdeckung der nichteuklidischen Geometrien gezeitigt. (Euklids fünftes Postulat besagt in moderner Formulierung, daß es durch einen beliebigen Punkt zu einer gegebenen Geraden genau eine Parallele gibt. Damit gleichbedeutend ist, daß die Winkelsumme im Dreieck zwei rechte Winkel beträgt. Die Annahme der Existenz mehrerer Parallelen führt zur hyperbolischen Geometrie mit einer Dreieckswinkelsumme von weniger als zwei Rechten; die elliptische Geometrie kennt gar keine Parallelen, und die Winkelsumme übertrifft zwei Rechte.)

Demgegenüber kann Tóth zweifelsfrei belegen, daß schon der griechischen Mathematik, wie sie sich in Akademie und Peripatos entwickelte und schließlich in Euklids Elementen festgehalten wurde, nicht nur die Unbeweisbarkeit des Parallelenpostulats klar bewußt war, sondern dort auch konkurrierende, in heutiger Terminologie „nichteuklidische" Hypothesen formuliert und weitergedacht wurden. Tóths Grundlage sind 18 Stellen im Corpus Aristotelicum sowie eine in Platons Kratylos, die er in den beiden Hauptteilen seiner Arbeit aufs gründlichste untersucht (vorangestellt sind ein Vorwort seines Schülers Vittorio Hösle [XVII–XXIV] sowie eine kurze Einleitung [1–18]):

Erster Teil (21–114)

Kapitel 1: Analytica priora II 16, 65a4–7: Als Beispiel für Argumentierende, die sich ihres Zirkelschlusses nicht bewußt sind, werden οἱ τὰς παραλλήλους οἰόμενοι γράφειν benannt. Dabei ist τὰς παραλλήλους γράφειν ein stark verkürzter Ausdruck für „das Parallelenpostulat beweisen"; es steht also das Bewußtsein dafür im Hintergrund, daß sich dieses Axiom nicht aus den übrigen herleiten läßt. Besonders verdienstvoll ist Tóths ausführlicher Nachweis, daß γράφειν hier tatsächlich „beweisen" heißt (27–52); der Ausdruck hat die Übersetzer und Interpreten regelmäßig in die Irre geführt. Kapitel 2 stellt den Bezug zu Euklid, Elemente I 27–29 her, Kapitel 3 führt Interpretationen anderer Gelehrter zu 65a4–7 vor. Kapitel 4 bis 6 unternehmen es, die Geschichte des Zirkelschlusses genau nachzuzeichnen; daraus ergeben sich sehr detaillierte Erkenntnisse über die Entstehung der Sätze I 27–31 der Elemente (gut lesbar zusammengefaßt in Hösles Vorwort XXII–XXIII).

Zweiter Teil (117–394)

Kapitel 1: Analytica priora II 17, 66a11–15 liefert zwei Beispiele, wo aus nichteuklidischen Annahmen nichteuklidische Aussagen folgen. Die Annahmen waren also nicht von vorneherein als unsinnig verworfen, sondern hypothetisch weitergedacht worden.

Kapitel 2: Analytica posteriora I 12, 77a36–b27: Der Gedanke, daß die Parallelen sich schneiden, wird nicht als falsch, sondern als „in schlechter Weise" (φαύλως) geometrisch bezeichnet und sogar (singulär) in den Rang einer ἀρχή, eines Axioms, erhoben. Tóths Ansicht (168–172), mit der Benennung „irgendeine Art von Nicht-Wissen" habe Aristoteles etwas unbeholfen versucht, die „schlechte" Theoriebildung begrifflich zu fassen, beruht jedoch auf einem Mißverständnis, ποίαν in 77b17–18 ist Frage-, nicht Indefinitpronomen: καὶ παρ᾽ ἑκάστην ἐπιστήμην τὰ κατὰ τὴν ἄγνοιαν τὴν ποίαν γεωμετρικά ἐστιν;

Platon, Kratylos 436AE; 438 CE: Sokrates legt dar, daß sich aus falschen Grundbegriffen durchaus in sich stimmige Gedankengebäude errichten lassen. Vittorio Hösle hat nachgewiesen, daß hier an die nichteuklidischen Gedankenexperimente der Geometer der Akademie gedacht ist.

De sophisticis elenchis X, 171a12–16: Als Beispiel dafür, daß Begriffe nicht immer eindeutig sind, wird angeführt, daß jemand möglicherweise unter „Dreieck" nicht die Figur versteht, deren Winkelsumme zwei Rechte beträgt.

In Metaphysica VI 2, 1026b11–12 wird über den Unterschied zwischen den Begriffen „Dreieck" und „Dreieck mit zwei Rechten als Winkelsumme" nachgedacht; das ist nur möglich, wenn diese Winkelsumme nicht zum Wesen (der οὐσία) des Dreiecks gehört.

Kapitel 3: Über die zuvor behandelten Stellen hinausgehend, werden bei Aristoteles mehrfach die euklidische und die nichteuklidische Winkelsumme ausdrücklich – und gleichberechtigt – nebeneinandergestellt: Analytica posteriora II 2, 90a12–13; Analytica posteriora II 2, 90a33–34; Analytica posteriora II 8, 93a31– 36; Metaphysica IX 10, 1052a4–7.

Kapitel 4: De caelo I 12, 281b5–6 ist eine der schwierigsten, aber auch interessantesten Stellen: λέγω δ', οἷον τὸ τρίγωνον ἀδύνατον δύο ὀρθὰς ἔχειν, εἰ τάδε, καὶ ἡ διάμετρος σύμμετρος. Dabei faßt τάδε den im unmittelbar vorausgehenden Kolon beschriebenen Sachverhalt zusammen, und καί leitet die Folgerung ein; das Beispiel besagt also, daß aus der Nichteuklidizität des Dreiecks die Kommensurabilität der Quadratdiagonalen folge. ³ Das ist eine durchaus nichttriviale Implikation, die ausführliche und ernsthafte Beschäftigung mit den nichteuklidischen Denkmöglichkeiten voraussetzt. Tóth weist 304 besonders auf die Selbstverständlichkeit hin, mit der Aristoteles ein nichteuklidisches Theorem als Beispiel heranziehen kann; sie belegt die Vertrautheit der griechischen Mathematiker mit nichteuklidischen Gedankengängen.

Analytica posteriora I 24, 85b38–86a3: Diese Stelle wird man aus dem Katalog der nichteuklidischen Belege streichen müssen, denn Tóths — auch nur sehr zögerlich und unsicher vorgetragene — Interpretation hat hier einmal wenig bis nichts für sich. Es geht um die Summe der Außenwinkel eines gleichschenkligen Dreiecks (sie beträgt vier Rechte): ὅταν μὲν οὖν γινώσκωμεν ὅτι τέτταρσιν αἱ ἔξω ἴσαι ὅτι ἰσοσκελές, ἔτι λείπεται διὰ τί τὸ ἰσοσκελές· ὅτι τρίγωνον, καὶ τοῦτο, ὅτι σχῆμα εὐθύγραμμον. εἰ δὲ τοῦτο μηκέτι διότι ἄλλο, τότε μάλιστα ἴσμεν. Der letzte Satz ist sicher so zu fassen, daß man sein Wissen dann vervollkommnet hat, wenn kein tieferliegender Grund (μηκέτι διότι ἄλλο) mehr anzugeben, also der höchstmögliche Verallgemeinerungsgrad erreicht ist.⁴ Tóth sinnt hingegen darüber nach, ob διότι ἄλλο als „weil (es) anders (ist)" (321) zu verstehen sei; mit „anders" wäre dann eine abweichende Außenwinkelsumme gemeint, wie sie in nichteuklidischen Geometrien auftritt. Das gibt die Stelle bei unvoreingenommener Auswertung nicht her; man muß Tóth aber zugute halten, daß sich sein durchgehendes Bemühen um gebührende interpretatorische Vorsicht nur hier einmal als nicht völlig trittsicher erweist.

Kapitel 5: Ethica Nicomachea VI 5, 1140b13–15; Magna moralia I 10–11, 1187a29–b14; Ethica Eudemia II 6, 1222b15–42; Problemata XXX 7, 956a15–27: Die Betrachtung der Stellen, wo Aristoteles Parallelen zwischen geometrischem und ethischem Urteilen zieht, liefert nicht nur weitere Beispiele für nichteuklidische Theoreme („Ändert sich die Winkelsumme im Dreieck, so auch im Quadrat"), sondern vor allem auch tiefergehende Erkenntnisse über den Reflexionsstand der griechischen Geometrie: Die Gültigkeit des euklidischen Parallelenpostulats ist innermathematisch nicht entscheidbar, da seine Gegenannahme nicht auf einen Widerspruch geführt werden kann; ein Wahrheitswert kann dem Axiom nur durch willkürliche Setzung seitens eines außermathematischen Subjekts zugeordnet werden. Die Rolle dieses Subjekts hat Euklid beansprucht; Tóth 378 weist auf die singuläre Einleitungsformel der Euklidischen Axiomatik hin: ᾐτήσθω. Für Aristoteles erweist sich die Geometrie damit als besonders fruchtbares Beispiel menschlicher Entscheidungsfreiheit; Tóth geht hier, wie überhaupt in der ganzen Studie, gründlich und gewinnbringend auch den tieferen philosophischen und philosophiegeschichtlichen Implikationen seiner Beobachtungen nach.

Kapitel 6: De anima I 1, 402b16–21; Physica II 9, 200a15–30: Diese zwei Stellen, die als einzige einen Zusammenhang zwischen Gerad- bzw. Krummlinigkeit eines Dreiecks und seiner Winkelsumme herstellen, ordnet Tóth einem früheren Entwicklungsstadium der Diskussion zu.

Ein Anhang (395–414) schreibt die behandelten Stellen aus, merkwürdigerweise einmal auf Griechisch, sodann getrennt davon noch einmal in jeweils deutscher und (humanistischer) lateinischer Übersetzung; wer Übersetzungen und Text vergleichen will, muß also blättern. Die Texte sind nur in Auszügen wiedergegeben, und zuweilen fehlen entscheidende Abschnitte; der mißverstandende Satz Analytica posteriora 77b17–18 beispielsweise erscheint hier gar nicht und 170 Anm. 10 nur unvollständig. Das Literaturverzeichnis (415–421) vermengt Primär- und Sekundärautoren und enthält so kuriose Einträge wie „Dante, Alighieri, Paradiso, Firenze 1994." Das Personenregister (423–425) ist unvollständig und fehlerhaft; ein Sachregister fehlt.

Überhaupt ist die äußere Form des Buches leider von nur katastrophal zu nennender Qualität. Dabei bleibt es nicht bei bloßen Schönheitsfehlern wie den gelegentlichen Unsicherheiten im Deutschen, den mit einem offenkundig archaischen Graphikprogramm erstellten und häufig nicht genau zum Text passenden Skizzen oder dem zuweilen recht unorthodoxen Umgang mit den philologischen Gepflogenheiten.⁵ Kleinere und größere Druckfehler finden sich auf nahezu jeder Seite (bis hin zu einem im Verlaufe von Umredaktionen heillos durcheinandergeratenen Abschnitt 38 oben); zumal die griechischen Texte haben regelmäßig unter entstellenden Verschreibungen zu leiden. Beim Zitieren werden die griechischen Formen ohne Rücksicht auf Syntax oder genaue Bedeutung aus dem Zusammenhang gerissen.⁶ Auch die Darstellung an sich ist mehr als unbeholfen, die zentralen Aussagen und Zitate werden im Verlauf der Kapitel unzählige Male wiederholt; die jeweils entscheidenden Fortschritte des Gedankens in dieser hoch repetitiven Umgebung nicht zu verpassen stellt besondere Ansprüche an die Wachsamkeit des Lesers.

Ob der Autor, der nach Auskunft des Vorworts (XVIII) nach den Korrekturen verstarb, selbst noch allerletzte Hand anlegen konnte, mag offen bleiben; Verlag und Herausgeber müssen sich jedenfalls fragen lassen, inwieweit die beklagenswerte handwerkliche Qualität des Buchs und sein stolzer Ladenpreis miteinander vereinbar sind.

Umso verblüffender wiederum, daß der dem ganzen Durcheinander zugrunde liegende Gedankengang klar, tiefgehend, umfassend und nahezu durchgehend folgerichtig bleibt;⁷ man gewinnt den Eindruck, daß gerade die beängstigende Unsicherheit Tóths im handwerklichen Detail ihn dazu brachte, sich inhaltlich in jeder Richtung doppelt, drei- und mehrfach zu vergewissern, so daß die eigentlichen Schlüsse am Ende auf sicherstmöglicher Grundlage stehen.

Wer lese nun das Buch? Seine Bedeutung für den Mathematik- oder Philosophiehistoriker steht außer Zweifel. Aber auch Altertumskundler der philologischen Richtungen sollten es in die Hand nehmen, etwa wenn sie sich für den Werdegang mathematischer Forschung im Umfeld von Akademie und Peripatos interessieren; Tóth ist dort am besten, wo er die einzelnen Stufen des Erkenntnisprozesses aus den Sedimentschichten der Äußerungen bei Aristoteles und Euklid rekonstruiert. Nicht zuletzt aber wird, wer sich in irgendeiner Weise vertieft mit einer der von Tóth behandelten Stellen befaßt, seine Erläuterungen dankbar heranziehen; was deren geometrische Hintergründe angeht, ist so manches knifflige Rätsel nun gelöst.⁸

1.   Sporadische Ausnahmen hat Victor V. Pambuccian in seiner Besprechung im Zentralblatt für Mathematik 1219.01005 zusammengetragen.
2.   Zu Euklid: Hans Wußing, 6000 Jahre Mathematik, 1. Band: Von den Anfängen bis Leibniz und Newton, Berlin–Heidelberg 2008 (korr. ND 2009), 190ff. Zur nichteuklidischen Geometrie ab dem 18. Jahrhundert: Dgl., 2. Band: Von Euler bis zur Gegenwart, Berlin–Heidelberg 2009 (korr. ND), 146–177.
3.   Kommensurabel heißt die Quadratdiagonale, wenn sie in einem rationalen Verhältnis zur Seitenlänge steht; das ist in der euklidischen Geometrie, wo das Verhältnis √2 beträgt, nicht der Fall. In nichteuklidischen Geometrien sind sowohl irrationale als auch rationale Verhältnisse möglich.
4.   Vgl. beispielsweise Übersetzung und Kommentar von Horst Seidl (Aristoteles, Zweite Analytiken, mit Einleitung, Übersetzung und Kommentar hrsg., Würzburg 1984).
5.   Tóth bildet etwa den Singular „die Scholie" und bezeichnet die behandelten Corpus-Stellen verwirrenderweise als „Fragmente", was sich weder mit der im philologischen Kontext gängigen Bedeutung des Worts, noch mit der durch den Buchtitel suggerierten deckt, wo man doch wohl zunächst an Bruchstücke der Theorie dächte. Den aristotelischen Zitaten sind aus unerfindlichen Gründen durchgehend die lateinischen Übersetzungen beigegeben.
6.   Ein Beispiel (209): „Die mathematischen Gedankengänge (μαθήμασι λόγοι) betreffen das Denken (διάνοιάν) oder nicht? Und wenn jemand glaubt (δοκεῖ), …". Im Zusammenhang lauten die Ausdrücke οἱ ἐν τοῖς μαθήμασι λόγοι πρὸς τὴν διάνοιάν εἰσιν bzw. εἴ τινι δοκεῖ (soph. elench. 171a12–13).
7.   Eine der wenigen inhaltlichen Schwachstellen des Buches (abgesehen von den zwei oben schon erwähnten Mißverständnissen) ist der Abschnitt 291–297, wo Tóth den Begriff des „Modells" diskutiert, das er für eine Verwirklichung statt zutreffend für eine bloße Veranschaulichung einer Theorie zu halten scheint. Seine Aussage (295), die Kreislinien des Poincaré- und des Moebius-Modells würden erst durch genau drei statt zwei Punkte definiert, ist schlicht falsch (siehe z. B. zum Poincaré-Modell Hilbert-Cohn-Vossen [wie unten, letzte Anmerkung] 226).
8.   Ganz ohne mathematische Vorkenntnisse kommt der altertumskundliche Leser nicht aus. So wird 70 der Begriff der Äquivalenzrelation als bekannt vorausgesetzt; dazu orientiert man sich in gängigen Lehrwerken der Algebra oder Linearen Algebra, z. B. Bernhard Hornfeck, Algebra, Berlin ³1976, 20, oder Gerd Fischer, Lineare Algebra, Wiesbaden ¹⁷2010, 40. Wohl unabdingbar ist eine gewisse Vertrautheit mit den notorischen anschaulichen Modellen, wie sie in den Darstellungen nichteuklidischer Geometrien studiert werden; dem Unkundigen wäre zur Skizze des elliptischen Dreiecks 126 sicher der Hinweis hilfreich gewesen, daß ein Dreieck mit drei rechten Winkeln auch im Anschauungsraum, nämlich auf der Kugeloberfläche, existiert. Man findet die Standardmodelle besonders schön ausgearbeitet bei David Hilbert und Stephan Cohn-Vossen, Anschauliche Geometrie, Berlin 1932 (im Text unveränderte 2. Auflage Heidelberg 1996), 207–228.